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    （04年上海卷理）(18分)

    设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, …, an=2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.

    (1)      若C的方程为=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=255, 求点P3的坐标；

     (只需写出一个)

    (2)若C的方程为(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；

    . (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由.

    解析：(1) a1=2=100,由S3=(a1+a3)=255,得a3=3=70.

    由

    =1

    ,得

    x=60

    x+y=70

    y=10

      

     

     

     

     

     

      ∴点P3的坐标可以为(2, ).

     (2) 【解法一】原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.

        ∵a1=2=a2, ∴d<0,且an=2=a2+(n－1)d≥b2,

        ∴≤d<0. ∵n≥3,>0

        ∴Sn=na2+d在[,0)上递增,

      故Sn的最小值为na2+?=.

      【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),

            

    由

    x+y=a2+(k－1)d

    ,解得y=

    +=1

         ∵0< y≤b2,得≤d<0

         ∴≤d<0

        以下与解法一相同.

       (3) 【解法一】若双曲线C:－=1,点P1(a,0),

       则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.

       ∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[,+∞),且=a2,

       ∴点P1, P2,…Pn存在当且仅当2>2,即d>0.

       【解法二】若抛物线C:y2=2x,点P1(0,0),

       则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.理由同上

       【解法三】若圆C:(x－a)+y2=a2(a≠0), P1(0,0),

        则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是0<d≤.

        ∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2,

       且=0, ∴d>0且2=(n－1)d≤4a2.即0<d≤.

     

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