Question

已知x＞0，y＞0，x与y的等差中项为

1

2

，且

a

x

+

1

y

的最小值是9，则正数a的值是（　　）

A．1

B．2

C．4

D．8

Answer 1

分析：先根据x与y的等差中项为

1

2

得到x+y=1，然后将

a

x

+

1

y

转化成（

a

x

+

1

y

）（x+y），拆开利用基本不等式求出最小值，建立等式，解之即可．

解答：解：∵x与y的等差中项为

1

2

，
∴x+y=1
∴

a

x

+

1

y

=（

a

x

+

1

y

）（x+y）=a+1+

ay

x

+

x

y

∵x＞0，y＞0，a为正数
∴

ay

x

+

x

y

≥2

ay x × x y

=2

a

，当且仅当

ay

x

=

x

y

时取等号
∵

a

x

+

1

y

的最小值是9
∴a+1+

ay

x

+

x

y

≥a+1+2

a

=9
即a+2

a

-8=0
解得a=4
故选C．

点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及利用基本不等式求最值，不等式适用条件：一正、二定、三相等，属于中档题．