Question

若常数a使得关于x的方程lg（x²+20x）-lg（8x-6a-3）=0有惟一解．则a的取值范围是

(-

163

6

，-

1

2

)

．

Answer 1

分析：将方程中的对数符号去除，得到方程6a=-x²-12x-3在x∈（-∞，-20）∪（0，+∞）时有唯一解，然后采用变量分离求函数值域的方法，可得实数a的取值范围．

解答：解：原方程lg（x²+20x）-lg（8x-6a-3）=0等价于

x2+20x=8x-6a-3 x 2+20x＞0

⇒6a=-x²-12x-3在x∈（-∞，-20）∪（0，+∞）时有唯一解
记F（x）=-x²-12x-3=-（x+6）²+33
当x∈（-∞，-20）时，F（x）≥F（-20）=-163；当x∈（0，+∞））时，F（x）≤F（0）=-3
故当x∈（0，8）时，F（x）∈（-163，-3），且函数是单值对应
所以6a∈（-163，-3）时，原方程有唯一解，得a∈(-

163

6

，-

1

2

)
故答案为：(-

163

6

，-

1

2

)

点评：本题考查了含有对数的方程的解法，以及方程根的存在性等知识点，属于中档题．解题时应该注意：对数的真数要大于零．