Question

(湖北八校模拟)已知，，的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：

①(a＞c＞0)；

② ；

③动点P的轨迹C经过点B(0，－1)．

(1)求c的值；

(2)求曲线C的方程；

(3)是否存在方向向量为(k≠0)的直线l，使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)设G(x，y)，则G在直线y=x上，所以取最小值时为点F到直线y=x的距离，即，得．　　　　(4分) (2)， 直线， 又． ∴点P在以F为焦点，为准线的椭圆上，设P(x，y)，则有 ， 将点B(0，－1)代入，解得， ∴曲线C的方程为．　　　　(8分) (3)假设存在方向向量为的直线l满足条件， 则可设l：y=kx＋m(k≠0)，与椭圆联立，消去y得 ， 由判别式，可得，　　　　　　　　① 设，MN的中点， 由，则有BP⊥MN，由韦达定理代入 ，可得到，　　　　　　　　② 联立①②，可得到， 或， 即存在，使l与曲线C交于不同的点M，N，且 ．　　　　(13分)