Question

已知两定点，动点P满足，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若线段AB是曲线C的一条动弦，且|AB|=2，求坐标原点O到动弦AB距离的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出动点P的轨迹方程，再根据已知条件用点M的坐标表示点P，使用“代点法”即可得出；
（Ⅱ）先对直线BA的斜率讨论，把直线AB的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式的性质即可得出．
解答：解：（Ⅰ）设动点P（x，y），则，．
∵动点P满足，∴，化为
即动点P的轨迹方程为．
设动点M（x，y），则Q（x，0），如图所示，
∵，，，
∴，化为，
代入动点P的轨迹方程得x²+2y²=2，即曲线C的方程为．
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，∵|AB|=2=短轴长，∴直线AB经过原点，此时原点到直线的距离=0；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，
联立，消去y得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
∵直线与椭圆有两个交点，∴△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）＞0，化为t²＜1+2k²．（*）
∴，，
∴|AB|=，
∴2²=，
化为．（**）
原点O到直线AB的距离d=，∴，
把（**）代入上式得=，当且仅当，即k²=0，k=0时取等号．
此时，满足（*）式．
∴，∴，即原点O到直线AB的最大距离d=．
综上可知：坐标原点O到动弦AB距离的最大值是．
点评：熟练掌握直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式的性质、“代点法”是解题的关键．