Question

3．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值是7？

Answer 1

分析 先确定20≤C_n³，得n≥6，再说明n=6是不能构造出来的，即可得出结论．

解答 解：从六个顶点选出3个顶点组成三角形，共有C₆³=20（种），这也是所有的三角形种数．
由于每个三角形使用不同的3色组合，那么这样的组合最多有C_n³种
三角形数不能超过组合种数，于是有20≤C_n³，得n≥6．
当然，n=6是不能构造出来的，因为假设有两个顶点连的一边染色红，那么剩下染红色的边必定在剩下的4个顶点中（否则与“任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边”矛盾）
这样下去得出一种颜色最多存在3边，由于共C₆²=15条边
而15÷6=2…3，必有3种颜色每种各染了三条边，设为1，2，3三色，
不妨AB，CD，EF染1，BC，DE，AF染2，
则剩下4种色怎么染都有三角形使用相同的3色组合，
所以n≥7，
故答案为：7．

点评 本题考查组合知识，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．