如图，在高为4的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，则直线AB₁与DA₁所成角的余弦值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：连接B₁C，AC，由正方体的几何特征，可得∠AB₁C即为直线AB₁与DA₁所成角，根据已知中长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为4，底面ABCD是边长为2的正方形，求出△AB₁C中各边的长，解△AB₁C即可得到直线AB₁与DA₁所成角的余弦值．
解答：连接B₁C，AC
由正方体的几何特征，可得AB₁∥B₁C
则∠AB₁C即为直线AB₁与DA₁所成角
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为4，底面ABCD是边长为2的正方形，
则AB₁=B₁C=2 $\text{[math]}$ ，AC=2 $\text{[math]}$
∴cos∠AB₁C= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选C
点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中结合正方体的几何特征得到∠AB₁C即为直线AB₁与DA₁所成角，是解答本题的关键．

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有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

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