Question

一个多面体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）如图所示，M，N分别是B₁C₁，A₁B的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求证：MN⊥平面A₁BC；
（3）若这个多面体的六个顶点A，B，C，A₁，B₁，C₁都在同一个球面上，求这个球的体积．

Answer 1

分析：（1）根据三视图的性质，可得该几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁．连接AC₁，AB₁，矩形ABB₁A₁中对角线AB₁的中点N就是A₁B的中点．结合M是B₁C₁的中点证出MN∥AC₁，由线面平行的判定定理，证出MN∥平面ACC₁A₁．
（2）由BC⊥平面ACC₁A₁，得到BC⊥AC₁．正方形ACC₁A₁中可得A₁C⊥AC₁，结合线面垂直判定定理，证出AC₁⊥平面A₁BC，再由MN∥AC₁，可得MN⊥平面A₁BC；
（3）根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，在矩形ABB₁A₁中算出可得A₁B=

3

a，从而得到NA=NB=NA1=

3

2

a，同理得NC=NB1=NC1=

3

2

a，所以点N是多面体的外接球心，得到半径R=

3

2

a．由球的体积公式，即可算出该外接球的体积．

解答：解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁，
（Ⅰ）连接AC₁，AB₁，由直三棱柱的性质，得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁B₁，可得四边形ABB₁A₁为矩形．
由矩形的性质，得AB₁过A₁B的中点N．
在AB₁C₁中，由中位线性质得MN∥AC₁，
又∵AC₁?平面ACC₁A₁MN?平面ACC₁A₁，∴MN∥平面ACC₁A₁．…（4分）
（Ⅱ）∵BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁?平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁
在正方形ACC₁A₁中，可得A₁C⊥AC₁
又∵BC∩A₁C=C，∴AC₁⊥平面A₁BC
又∵MN∥AC₁，∴MN⊥平面A₁BC…（8分）
（Ⅲ）∵多面体为直三棱柱，
∴矩形ABB₁A₁中，A1B2=AA12+AB2=a2+(

2

a)2=3a2
可得A₁B=

3

a，
∵AN是直角三角形斜边的中线，∴NA=NB=NA1=

3

2

a
同理可得NC=NB1=NC1=

3

2

a
∴N是这个多面体的外接球的球心，半径R=

3

2

a…（10分）
∴外接球的体积V=

4

3

π(

3

2

a)3=

3

2

πa³…（14分）

点评：本题给出直三棱柱的三视图，求证线面平行、线面垂直并求外接球的体积．着重考查了三角形中位线定理、线面平行垂直的判定与性质和球的体积公式等知识，属于中档题．