Question

已知圆M：（x-1）²+y²=9，直线l：y=x-m
（1）当直线l与圆M相切时，求m的值．
（2）当直线l与圆M相交于P，Q两点，且|PQ|=2

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，求直线l在y轴上的截距．
（3）当直线l与圆M相交于P，Q两点，若在x轴上存在一点R，恰好以PQ为直径的圆过R点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）圆M：（x-1）²+y²=9的圆心M（1，0），半径为r=3，x-y-m=0，由直线l与圆M相切，能求出m的值．
（2）设圆心M到直线l的距离为d，则d=

r2-( |PQ| 2 )2

=

9-7

=

2

，由点到直线的距离公式能求出直线l在y轴上的截距．
（3）设点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），R（x₀，0），因为以PQ为直径的圆过R点，所以RP⊥RQ，得（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0，故2x₁x₂-（x₁+x₂）（x₀+m）+x₀²+m²=0，由

y=x-m (x-1)2+y2=9

?2x2-2(m+1)x+m2-8=0，再利用韦达定理和根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）圆M：（x-1）²+y²=9的圆心M（1，0），半径为r=3
又y=x-m，∴x-y-m=0，
∵直线l与圆M相切，
∴

|1-m|

2

=3，∴m=1±3

2

（2）设圆心M到直线l的距离为d，则d=

r2-( |PQ| 2 )2

=

9-7

=

2

∴

|1-m|

2

=

2

，∴m=3，或m=-1，
所以直线l在y轴上的截距为-3或1
（3）设点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），，R（x₀，0），
因为以PQ为直径的圆过R点∴RP⊥RQ，
得kRPkRQ=-1，即

y1y2

(x1-x0)(x2-x0)

=-1?（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0?（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（x₁-m）（x₂-m）=0?2x₁x₂-（x₁+x₂）（x₀+m）+x₀²+m²=0（1）
由

y=x-m (x-1)2+y2=9

?2x2-2(m+1)x+m2-8=0
所以x1+x2=m+1，x1x2=

m2-8

2

(2)，
△=4（m+1）²-8（m²-8）＞0?-3＜m＜5
将（2）代入（1）整理得x₀²-（m+1）x₀+m²-m-8=0
所以△x0=(m+1)2-4(m2-m-8)≥0?1-2

3

≤m≤1+2

3

适合-3＜m＜5，
所以1-2

3

≤m≤1+2

3

点评：本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意根与系数的关系的灵活运用．