Question

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点．
（Ⅰ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意建立空间直角坐标系，通过法向量求出平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值．
（Ⅱ）假设在DE存在一点P，设出坐标，根据CP⊥面DEF，得到所以

CP

与平面DEF的法向量n₂共线，求出λ，得到DP即可．

解答：解：以O为原点，OB，OC，Oz分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
C（0，

3

，0），D（1，0，1），E（0，

3

，3），F（-1，0，2）．
（Ⅰ）平面ABC的法向量为n₁=（0，01）．
设平面DEF的法向量为n₂=（x，y，z），

DE

=（-1，

3

，2）．
由

n2• DE =0 n2• DF =0

得

-x+ 3 y+2z=0 -2x+z=0

所以

z=2x y=- 3 x

取x=1，得n₂=（1，-

3

，2）．
所以cos＜m₁，m₂＞=

n1•n2

|n1||n2|

=

2

1×2 2

=

2

2

，所以平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为

2

2

．

（Ⅱ）假设在DE存在一点P，设P（x，y，z），
因为

DP

=λ

DE

，故（x-1，y，z-1）=λ（-1，

3

，2），
所以P（-λ+1，

3

λ，2λ+1），所以CP=（-λ+1，

3

λ-

3

，2λ+1）．
因为平CP⊥面DEF，所以

CP

与平面DEF的法向量n₂共线，
所以

-λ+1

1

=

3 λ- 3

- 3

=

2λ+1

2

，解得λ=

1

4

，
所以

DP

=

1

4

DE

，即|DP|=

1

4

|DE|，所以DP=

2

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及与二面角相关的立体几何问题综合运用．通过数形结合，以及对知识的综合考查，达到考查学生基本能力的目的，属于中档题．