Question

已知曲线y=

1

3

x3上一点M处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线的方程为

y=x±

2

3

．

Answer 1

分析：利用切线与直线y=3-x垂直，得到切线的斜率，也就是曲线在点M处的导数，通过计算，得出点M的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可．

解答：解：设点M（x₀，y₀）
∵切线与直线y=3-x垂直
∴切线的斜率为1
∴曲线在点M处的导数y′=x₀²=1，即x₀=±1．
当x₀=1时，y₀=

1

3

，利用点斜式得到切线方程：y=x-

2

3

；
当x₀=-1时，y₀=-

1

3

，利用点斜式得到切线方程：y=x+

2

3

．
综上所述：切线的方程为y=x±

2

3

．
故答案为：y=x±

2

3

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及两条直线垂直，其斜率的关系，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．