Question

设矩阵M对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵M^-1以及
圆x²+y²=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．

Answer 1

分析：根据已知条件，欲求出矩阵M^-1，可由已知直接写出M^-1．设椭圆上任意一点（x₀，y₀），变换后的坐标（x₀′，y₀′），根据逆变换公式，知道之间的关系，代入，即可求出新曲线方程．

解答：解：∵矩阵M对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，
∴逆矩阵M^-1是把坐标平面上的点的纵坐标缩短到

1

2

倍，横坐标缩短到

1

3

倍的伸压变换，
∴M-1=

1 2 0 0 1 3

．（5分）
任意选取椭圆 x²+y²=1上的一点P（x₀，y₀），它在矩阵 M-1=

1 2 0 0 1 3

对应的变换下变为P'（x₀′，y₀′），则有

.

1 2 0 0 1 3

.

.

x0 y0

.

=

.

x′0 y′0

.

，故

x0=2 x ′ 0 y0=3 y ′ 0

．
又因为点P在椭圆  x²+y²=1上，所以4x₀^'2+9y₀^'2=1．
椭圆  x²+y²=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为4x²+9y²=1．

点评：本题主要考查逆矩阵、逆变换及其计算能力，属于综合性的问题，计算比较简单．