Question

11．已知函数f（x）=ax²-lnx，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在点 （1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为$\frac{3}{2}$，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）当x∈（0，+∞）时，求证：e²x³-2x＞2（x+1）lnx．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求出单调区间，求得最小值，解方程可得a的值；
（3）由（2）得当x＞0时，$\frac{1}{2}$e²x²-lnx≥$\frac{3}{2}$，可令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+1，求出导数，单调区间，可得最大值，即可得证．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-lnx的导数为f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2-1=1，
切点为（1，1），可得切线方程为y-1=x-1，即x-y=0；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数为f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）为减函数，无最小值；
当a＞0时，在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）上，f′（x）＜0；在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）上，f′（x）＞0．
所以当x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$处取得极小值，也为最小值$\frac{1}{2}$-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
令$\frac{1}{2}$-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$=$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$e²，
则存在实数a=$\frac{1}{2}$e²，使f（x）的最小值为$\frac{3}{2}$；
（3）证明：由（2）得当x＞0时，$\frac{1}{2}$e²x²-lnx≥$\frac{3}{2}$，
可令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+1，则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0．
则x=e处，g（x）取得最大值g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
且1+$\frac{1}{e}$＜1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
则$\frac{1}{2}$e²x²-lnx＞$\frac{lnx}{x}$+1，
即e²x³-2x＞2（x+1）lnx．

点评 本题考查导数的运用：切线方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．