Question

已知△ABC是正三角形，GC是△ABC的中线，EA、FB、CD都垂直于平面ABC．EA=3a，AB=CD=2a，FB=a，设平面EDF与平面ABC的交线为l．
（1）证明GC∥l；
（2）证明平面EABF与平面EDF垂直；
（3）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）取EF中点H，连DH，HG，易证四边形HGCD是平行四边形，由线面平行的性质定理可证GC∥l；
（2））△ABC是正三角形，G是AB的中点，可证得CG⊥AB，而CG⊥AB，于是可证CG⊥平面ABFE，从而可证平面EABF⊥平面EDF；
（3）利用割补法可求得多面体ABCDEF的体积．

解答：证明：（1）取EF中点H，连DH，HG…1′
在梯形EABF中，HG是梯形中位线，故HG∥DC，HG

|EA|+|BF|

2

=

3a+a

2

=2a=CD，
∴四边形HGCD是平行四边形，…3′
∴CG∥DH，
∴CG∥平面EFD，平面EDF∩平面ABC=l
∴CG∥l…5′
（2）△ABC是正三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，
∵AE⊥CG，
∴CG⊥平面ABFE，
∴DH⊥平面ABFE，
∴平面EABF⊥平面EDF；…9′
（3）∵三棱柱EMN-ABC的体积V₁=S_ABC•|AE|=

1

2

•2a•2a•sin60°•3a=3

3

a³，
而四棱锥E-MFDN的体积V₂=

1

3

•S_MFDN•h（h为该四棱锥的高，其数值为底面等边△EMN的底边MN上的高），
∴V₂=

1

3

•

(|MF|+|DN|)

2

•h
=

1

3

•

(2a+a)2a

2

•

3

a
=

3

a³，
∴多面体ABCDEF的体积V=V₁-V₂=3

3

a³-

3

a³=2

3

a³．…12′

点评：本题考查直线与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定及合几何体的体积问题，考查割补法，属于中档题．