Question

如图，设圆x²+y²=12与抛物线x²=4y相交于A，B两点，F为抛物线的焦点．
（I）若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为P₁，P₂，P₃，P₄，求|P₁P₂|+|P₃+P₄|的值；
（II）若直线m与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，切点D在劣弧

AB

上，求|MF|+|NF|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由圆的方程和抛物线的方程联解，求得交点A、B的坐标，从而判断直线l与圆交于P₁、P₃，直线l与抛物线交于P₂、P_4，
另|P₁P₂|+|P₃+P₄|的表达式用P₁，P₂，P₃，P₄的四点的横坐标表示，然后根据根与系数的关系，代入表达式，即解．
（II）先设直线m的方程y=k+b，交点M、N坐标，再用点M、N纵坐标表示出|MF|+|NF|，由与圆相切，得到k与b的关系，
消去k用b表示|MF|+|NF|，即得到关于b的一个函数，由kOA=-

2

2

，kOB=

2

2

，得到k的范围，由此求得b的范围，
再将b的代入|MF|+|NF|的函数关系式中并求出其范围．

解答：解：（1）由

x2+y2=12 x2=4y

，得

x=2 2 y=2

或

x=-2 2 y=2

，
即A（-2

2

，2），B（2

2

，2）．
∵点F坐标为（0，1），∴kFB-

1

2 2

=

2

4

，所以kl＞kFB，
所以直线l与圆交于P₁、P₃两点，与抛物线交于P₂、P₄两点，
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄）
把直线l方程：y=x+1代入x²=4y，得x²-4x-4=0，∴x₂+x₄=4；
把直线l方程：y=x+1代入x²+y²=12，得2x²+2x-11=0，∴x₁+x₃=-1
∴|P1P2|=

1+k2

•|x1-x2|=

2

(x2-x1)
∴|P3P4|=

1+k2

•|x3-x4|=

2

(x4-x3)
∴|P1P2|+|P3P4|=

2

[(x2-x1)+(x4-x3)]=

2

[(x2+x4)-(x1+x3)]
=

2

[4-(-1)]=5

2

．
所以|P₁P₂|+|P₃+P₄|的值等于5

2

．
（II）设直线m的方程为y=k+b（b＞0），
代入抛物线方程得x²-4kx-4b=0，
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，
则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=4k²+2b，
∵直线m与该圆相切，∴

b

k2+1

=

12

即 k2=

b2

12

-1，
又|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
∴|MF|+|NF|=y₁+y₂+2=4k²+2b+2=

b2

3

+2b-2=

1

3

(b+3)2 -5
∵kOA=-

2

2

，kOB=

2

2

，∴分别过A、B的圆的切线的斜率为

2

，-

2

．
∴k∈[-

2

，

2

]∴0≤k²≤2，∴0≤

b2

12

-1≤12，又b＞0，∴b∈[2

3

，6]
所以|MF|+|NF|的取值范围为[2+4

3

，22]．

点评：此题考查用坐标法解决圆锥曲线问题，在解题过程中还考查了弦长公式的运用，同时还考查学生的计算技巧中设而不求的方法．