Question

某城市的夏季室外温度y（℃）的波动近似地按照规则y=25+6

2

sin（

π

12

t+

3

4

π）+6

2

cos（

π

12

t+

3

4

π），其中t（h）是从某日0点开始计算的时间，且t≤24．
（1）若在t₀h（t₀≤6）时的该城市室外温度为19℃，求在t₀+8h时的城市室外温度；
（2）某名运动员要在这个时候到该城市参加一项比赛，计划在比赛当天的10时抵达，且于当天16时离去，而该运动员一旦到室外温度超过36℃的地方就会影响正常发挥，试问该运动员会不会因为气温影响而不能正常发挥？

Answer 1

分析：（1）先将函数进行化简，再利用在t₀h（t₀≤6）时的该城市室外温度为19℃，求出t₀，进而可求在t₀+8h时的城市室外温度；
（2）先求出t（h）从10时到16时，城市室外温度的最大值，再与36进行比较，从而可确定该运动员会不会因为气温影响而不能正常发挥．

解答：解：∵y=25+6

2

sin（

π

12

t+

3

4

π）+6

2

cos（

π

12

t+

3

4

π），
∴y=25+12[

2

2

sin（

π

12

t+

3

4

π）+

2

2

cos（

π

12

t+

3

4

π）]，
∴y=25+12sin（

π

12

t+

3

4

π+

π

4

）=25-12sin

π

12

t
（1）∵在t₀h（t₀≤6）时的该城市室外温度为19℃，
∴19=25-12sin

π

12

t0（t₀≤6）
∴sin

π

12

t0=

1

2

，∴t₀=2
∴t₀+8=10，
∴y=25-12sin

π

12

×10=25-6=19
∴在t₀+8h时的城市室外温度为19℃；
（2）由题意得，t∈[10，16]，

π

12

t∈[

5π

6

，

4π

3

]，sin

π

12

t∈[-

3

2

，

1

2

]，
∴y=25-12sin

π

12

t∈[19，25+6

3

]
即t∈[10，16]，ymax=25+6

3

比较25+6

3

与36的大小，即比较6

3

与11的大小，
∵6

3

＜11
∴25+6

3

＜36
∴该运动员不会因为气温影响而不能正常发挥．

点评：本题借助于具体的三角函数模型，考查三角函数的化简，考查利用三角函数解决具体问题，考查学生分析解决问题的能力．