Question

20．（1）设x，y，z∈（0，+∞），a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，求证：a，b，c三数中至少有一个不小于2；
（2）已知a，b，c是△ABC的三条边，求证：$\frac{a+b}{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$．

Answer 1

分析 （1）假设a，b，c三数都小于2，则x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6，再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论；
（2）运用分析法证明，运用不等式的性质和三角形的三边的关系，即可得证．

解答 证明：（1）假设a，b，c三数都小于2，则x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6．
∵x，y，z均大于0，
∴x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{1}{y}$+z+$\frac{1}{z}$≥2+2+2=6，矛盾．
∴a，b，c三数中至少有一个不小于2．
（2）要 证$\frac{a+b}{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$成立，
只需证1-$\frac{1}{1+a+b}$＞1-$\frac{1}{1+c}$
只需证-$\frac{1}{1+a+b}$＞-$\frac{1}{1+c}$，
只需证-$\frac{1}{1+a+b}$＜$\frac{1}{1+c}$只需证 1+c＜1+a+b，只需证c＜a+b
∵a，b，c是△ABC的三条边∴c＜a+b成立，原不等式成立

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法与反证法的运用，注意运用分析法证明，结合不等式的性质和三角形的三边关系，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．