Question

17．当x∈（0，+∞）时，不等式c²x²-（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是[$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为x∈（0，+∞）时，（xc-lnx）（xc+1）≥0恒成立，故有$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{lnx}{x}}\\{c≥-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c≤\frac{lnx}{x}}\\{c≤-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$恒成立，令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，求出f（x）的最大值，从而求出c的范围即可．

解答 解：当x∈（0，+∞）时，不等式c²x²-（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，
即x∈（0，+∞）时，（xc-lnx）（xc+1）≥0恒成立，
即x∈（0，+∞）时，$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{lnx}{x}}\\{c≥-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c≤\frac{lnx}{x}}\\{c≤-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{e}$，而y=-$\frac{1}{x}$＜0，
故c≥$\frac{1}{e}$，
故答案为：[$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．