Question

若直线x-y+2=0与圆C：（x-3）²+（y-3）²=8相交于A、B两点，则

CA

•

CB

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,直线与圆的位置关系

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：设出A、B点的坐标，利用直线方程与圆C的方程组成方程组，消去y，得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系，求出

CA

•

CB

的值．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线x-y+2=0与圆C：（x-3）²+（y-3）²=8相交于A、B两点，
∴

x-y+2=0 (x-3)2+(y-3)2=8

，
消去y，整理得；
x²-4x+1=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1；
∴

CA

=（x₁-3，y₁-3）=（x₁-3，x₁-1），

CB

=（x₂-3，y₂-3）=（x₂-3，x₂-1）；
∴

CA

•

CB

=（x₁-3）（x₂-3）+（x₁-1）（x₂-1）
=2x₁x₂-4（x₁+x₂）+10
=2×1-4×4+10=-4．
故答案为：-4．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的方程应用问题，是综合性题目．