Question

如图，将一张矩形的纸对折以后略微展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么与桌面垂直．

从图中可直观地看出，折痕垂直于对折后的纸与桌面所形成的交线．由直线与平面垂直的判定定理知，折痕与桌面垂直．那么在折痕垂直于纸与桌面的交线未知的情况下，单凭折后的纸与桌面垂直，能否得出折痕与桌面垂直？转化为数学语言，即如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面吗？下面用不同的方法证明．

如图，已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，β∩α＝l，γ∩α＝m．

求证：a⊥α．

Answer 1

答案：
解析：

一、利用线面垂直的判定定理 　　分析：要直接证β，γ与α的交线l，m与a垂直较难．可以换一个角度思考，想办法在α内找出其他两条相交直线均与a垂直，而解决线线垂直的方法之一是证明线面垂直．由于α⊥β，α⊥γ，因此需要在平面α内引两条相交直线分别与l，m垂直． 　　证明：如下图，在α内取一点P，作PA⊥l于点A，PB⊥m于点B． 　　因为α⊥β，α⊥γ，β∩α＝l，γ∩α＝m， 　　所以PA⊥β，PB⊥γ， 　　所以PA⊥a，PB⊥a． 　　又PAα，PBα，PA∩PB＝P， 　　所以a⊥α． 　　二、利用同一法 　　分析：要证a⊥α，可在a上取一点，过此点作直线垂直于α，然后证明a与此直线重合，这就要使得此直线同时在两平面β，γ内． 　　证明：如图，在a上取一点Q，在β内作QC⊥l于点C． 　　因为α⊥β，且β∩α＝l， 　　所以QC⊥α． 　　同理，在γ内作QD⊥m于点D，则QD⊥α． 　　因为过平面α外一点所作的垂线是唯一的， 　　所以QC与QD重合． 　　因为QCβ，即QDβ，且QDγ， 　　所以β∩γ＝QD． 　　所以QD与a重合，于是a⊥α． 　　三、利用平行线的传递性 　　分析：要证a⊥α，可利用空间平行线的传递性，证明直线a的某条平行线与α垂直即可． 　　证明：如图，在β内取不在a上的一点M，过M作直线b⊥l． 　　因为β⊥α，且β∩α＝l，所以b⊥α． 　　同理，在γ内取不在a上的一点N，过N作直线c⊥m，则c⊥α． 　　所以b∥c． 　　因为bγ，cγ， 　　所以b∥γ． 　　又因为bβ，β∩γ＝a， 　　所以b∥a． 　　因为b⊥α，所以a⊥α． 　　点评：本题主要考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系． 　　本题的三种证法都是用符号语言表示的，因此，同学们要具有转译文字语言、图形语言的能力及较强的空间想象能力．