Question

附加题（必做题）
在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字．
（1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？
（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为0，1和1，2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）要想组成的三位数能被3整除，把0，1，2，3，…，9这十个自然数中分为三组：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．求出每组中各取一个数，含0，与每组中各取一个数不含0以及从每组中各取三个数的所求可能，相加即可；、（2）随机变量ξ的取值为0，1，2，然后根据等可能事件的概率公式求出相应的概率，得到ξ的分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
解答：解：（1）要想组成的三位数能被3整除，把0，1，2，3，…，9
这十个自然数中分为三组：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．
若每组中各取一个数，含0，共有C₃¹C₃¹C₂¹A₂²=36种；
若每组中各取一个数不含0，共有C₃¹C₃¹C₃¹A₃³=162种；
若从每组中各取三个数，共有3A₃³+C₃²A₂²A₂²=30种．
所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种．…（6分）
（2）随机变量ξ的取值为0，1，2，
P（ξ=2）==
P（ξ=1）==
P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1--=
ξ的分布列为：

ξ		1	2
P

所以ξ的数学期望为．…（10分）
点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．