Question

已知曲线C₁的极坐标方程为P（2cosθ+5sinθ）-4=0；曲线C₂的参数方程为

x=2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），
求（1）曲线C₁和曲线C₂的普通方程
（2）曲线C₁和曲线C₂的位置关系．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：直线与圆

分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得曲线C₁的普通方程，利用sin²θ+cos²θ=1，即可求得曲线C₂的普通方程
；
（2）根据（1）可知曲线曲线C₁和曲线C₂分别为直线和圆，利用圆心到直线的距离和半径比较，即可确定它们之间的关系．

解答： 解：（1）∵曲线C₁的极坐标方程为ρ（2cosθ+5sinθ）-4=0，即2ρcosθ+5ρsinθ-4=0，
∴曲线C₁的普通方程为2x+5y-4=0，
∵曲线C₂的参数方程为

x=2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），
∴曲线C₂的普通方程为x²+y²=4，
故曲线C₁和曲线C₂的普通方程分别为2x+5y-4=0，x²+y²=4；
（2）由（1）可知，曲线C₁是方程为2x+5y-4=0的直线，曲线C₂是方程为x²+y²=4的圆，
曲线C₂的圆心是（0，0），半径是r=2，
故圆心（0，0）到直线2x+5y-4=0的距离d=

|-4|

22+52

=

4

29

＜r=2，
∴直线与圆的位置关系是相交，
故曲线C₁和曲线C₂的位置关系是相交．

点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，圆的参数方程．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即可将极坐标方程转化为直角坐标方程．对于直线与圆的位置关系的判定，一种是利用几何法，一种是利用代数法．属于基础题．