Question

2．已知点A（-1，0）、B（1，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos²θ=1．（P不在线段AB上）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设（Ⅰ）中轨迹C与y轴正半轴的交点为D点，过D点作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于另外一点M、N，试问直线MN是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意分点P在x轴上且在线段AB外和点P不在x轴上讨论，当当点P在x轴上且在线段AB外时，直接求出p的坐标，当点P不在x轴上时，由余弦定理可得∴|PA|+|PB|=2$\sqrt{2}$＞2=|AB|，由此求出动点P的轨迹C的方程；
（2）设DM：y=kx+1，联立直线方程和椭圆方程，求出M，N的坐标，写出直线的两点式方程，从而求得直线MN经过的定点．

解答 解：（1）①当点P在x轴上且在线段AB外时，θ=0，设P（p，0），
由|PA|•|PB|cos²θ=1，得（p+1）（p-1）=1，
∴p=±$\sqrt{2}$，则P（$±\sqrt{2}$，0）；
②当点P不在x轴上时，
在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2θ）
=（|PA|+|PB|）²-4|PA|•|PB|cos²θ
=（|PA|+|PB|）²-4；
∴|PA|+|PB|=2$\sqrt{2}$＞2=|AB|，即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上，
方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1（$x≠±\sqrt{2}$）；
综和①②可知：动点P的轨迹C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）显然，两直线斜率存在，设DM：y=kx+1，
代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4kx=0，
解得点M$（\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}，\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）$，同理得N$（\frac{4k}{2+{k}^{2}}，\frac{{k}^{2}-2}{2+{k}^{2}}）$，
直线MN：$y-\frac{{k}^{2}-2}{2+{k}^{2}}=\frac{{k}^{2}-1}{3k}（x-\frac{4k}{2+{k}^{2}}）$，化简得$y=\frac{{k}^{2}-1}{3k}x-\frac{1}{3}$，
令x=0，得y=-$\frac{2}{3}$，∴直线MN过定点（0，$-\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了余弦定理在解决三角形问题中的应用，考查直线和椭圆的位置关系，是中档题．