Question

（本小题满分13分）

已知, 是平面上一动点, 到直线上的射影为点，且满足

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作曲线的两条弦, 设所在直线的斜率分别为, 当变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标．

 

Answer 1

【答案】

(1) y²="4x" (2) 直线AB经过(5,-6)这个定点

【解析】

试题分析：解： （Ⅰ）设曲线C上任意一点P(x,y), 又F(1,0)，N(－1,y),从而 

,,

化简得y²="4x," 即为所求的P点的轨迹C的对应的方程.         ………………4分

（Ⅱ）设、、、

将MB与联立，得：

∴         ①

同理        ②

而AB直线方程为: ，即  ③

………………8分

由①②:y₁+y₂=

代入③，整理得恒成立………………10分

则 故直线AB经过(5,-6)这个定点.. ………………13分

考点：轨迹方程，直线与抛物线的位置关系

点评：解决该试题的关键是利用设点，得到关系式，然后坐标化，进而化简得到轨迹方程。属于基础题。