Question

如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.   　

(Ⅰ) 求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面⊥平面；

（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

 

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 取中点为，连  ∵ 是的中点  ∴是的中位线,∴    ∵ 是中点且是菱形，

,∴ . ∴  

  ∴ 四边形是平行四边形.  从而 ,     ∵ 平面 ,

平面,        ∴  ∥平面       ……………………………4分

（Ⅱ）∵ ⊥平面,平面   ∴   

∵ 底面是菱形，  ∴ 为正三角形,  ∵是中点  ∴     ∵是平面内的两条相交直线  ∴ ⊥平面. 

∵平面  ∴ 平面⊥平面  .  ……………………………8分

说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）前两小题用向量法，解答只要言之有理均应按步给分.

（Ⅲ）以为原点，垂直于的方向为轴，的方向分别为轴、轴建立空间直角坐标系，易知、、、.

由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一个法向量,

设平面的一个法向量为

由 ,且由

在以上二式中令，则得，，

∴,设平面与平面所成锐角为 

 ∴ .　

故平面与平面所成的锐角为

 

 

【解析】略