Question

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．现给出如下条件：①2b=a+c：②b²=ac ③2b²=a²+c²④$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$．这四个条件中能推出内角B的范围恰为（0，$\frac{π}{3}$]的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，判断cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，即可得出结论．

解答 解：由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
①2b=a+c，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{a}^{2}+3{c}^{2}-2ac}{8ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，正确；
②b²=ac，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，正确；
 ③2b²=a²+c²，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，正确；
④$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ac}}$．cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥1-$\frac{{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，正确；
故选：D．

点评 本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．