Question

已知△AOB的一个顶点为抛物线y²＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°

(1)证明直线AB必过一定点；

(2)求△AOB面积的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：设直线OA的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝，由解得A(，)(k≠0)．

　　同理由可得B(2k²，－2k)，∴直线AB的方程为y＋2k＝(x－2k²)，化简得x－()y－2＝0．

　　显然过定点P(2，0)．

　　(2)设直线AB方程为x＝my＋2，代入y²＝2x，得y²－2my－4＝0，∴y₁＋y₂＝2m，y₁·y₂＝－4

　　∴|y₁－y₂|＝，

　　∴S_△AOB＝·|OP|·|y₁－y₂|＝×2×．

　　显然，当m＝0时，S_△AOB的最小值为4．