Question

已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C在第四象限，半径为

2

．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，利用圆关于直线x+y-1=0对称，圆心C在第四象限，半径为

2

，建立方程组，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，利用直线l与圆C相切，建立方程，即可求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由x²+y²+Dx+Ey+3=0得：(x+

D

2

)2+(y+

E

2

)2=

D2+E2-12

4

∴圆心C(-

D

2

，-

E

2

)，半径R=

D2+E2-12

2

，
由题意，

D2+E2=20 D+E=-2

，解之得，D=-4，E=2
∴圆C的方程为x²+y²-4x+2y+3=0…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心C（2，-1），设直线l在x轴、y轴上的截距分别为2a，a．
当a=0时，设直线l的方程为kx-y=0，则

|2k+1|

k2+1

=

2

解得k=

-2± 6

2

，此时直线l的方程为(-2±

6

)x-2y=0…（10分）
当a≠0时，设直线l的方程为

x

2a

+

y

a

=1即x+2y-2a=0，
则

|2a|

5

=

2

，∴2a=±

10

，此时直线l的方程为x+2y±

10

=0…（13分）
综上，存在四条直线满足题意，其方程为(-2±

6

)x-2y=0或x+2y±

10

=0…（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．