Question

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x₀使得对任意实数x₁，x₂，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对任意的正整数n．有，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较与T_n的大小关系，并给出证明．

Answer 1

解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），∴f（x₀）=-f（0）．①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）．②
由①②得 f（x₀）=f（1）．∴f（x）为单调函数，
∴x₀=1．
（2）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+f（1）=f（x₁）+f（x₂）+1．
∵f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，f（1）=1，∴f（n）=2n-1．（n∈Z^*）
∴．
又∵
∴．
又，
∴．
∴．
∴
=

=．
∴．
∵4ⁿ=（3+1）ⁿ=C_nⁿ3ⁿ+C_n^n-13^n-1+…+C_n¹3+C_n⁰≥3n+1＞2n+1，
∴．
∴．
分析：（1）由题意对于任意实数x₁，x₂等式恒成立，故可采用赋值法求解；
（2）先证明{f（n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，由此得 ，从而可求S_n，再证{b_n}是等比数列从而可求T_n，代入与T_n作差，利用二项式定理展开，进行放缩，即可求得结果．
点评：本题考查抽象函数的求值问题，一般采用赋值法解决，求数列的和，关键是求出其通项，再利用相应的求和公式，不等式中的恒成立问题，往往相应借助于函数的单调性解决．综合性较强，属难题．