分析:法一:(1)连接AC,则AC⊥DB,由AC是A
1C在平面ABCD内的射影,知A
1C⊥BD.因为A
1B
1⊥平面B
1C
1BC,所以A
1C⊥BE.由此能够证明A
1C⊥平面EBD.
(2)由AB平行于平面A
1B
1C,所以点B到平面A
1B
1C的距离等于点A到平面A
1B
1C的距离,由BF⊥平面A
1B
1C,知BF为所求距离,由此能求出结果.
(3)连接DF,A
1D,由EF⊥B
1C,EF⊥A
1C,知EF⊥平面A
1B
1C,所以∠EDF即为直线ED与平面A
1B
1C所成的角.由条件AB=BC=1,BB
1=2,能求出直线DE与平面A
1B
1C所成角的正弦值.
法二:(1)分别以AB,AD,AA
1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则
A(0,0,0,),A1(0,0,2),E(1,1,),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),由向量法能证明A
1C⊥平面EBD.
(2)设平面A
1B
1C的一个法向量为m=(x,y,z)则
,所以m=(0,2,1),由此能求出点A到平面A
1B
1C的距离.
(3)由m=(0,2,1),
=(-1,0,-),
设与m所成角为θ,由
cosθ==-,能求出直线ED与平面A
1B
1C所成角的正弦值.
解答: 解法一:
(1)证明:连接AC,则AC⊥DB,
∵AC是A
1C在平面ABCD内的射影,∴A
1C⊥BD
又∵A
1B
1⊥平面B
1C
1BC,
且A
1C在平面B
1C
1BC内的射影B
1C⊥BE
且BD∩BE=B,
∴A
1C⊥BE∴A
1C⊥平面EBD…(4分)
(2)解:∵AB平行于平面A
1B
1C,
所以点B到平面A
1B
1C的距离等于点A到平面A
1B
1C的距离
因为BF⊥平面A
1B
1C
所以BF为所求距离,
BF=…(9分)
(3)解:连接DF,A
1D,
∵EF⊥B
1C,EF⊥A
1C,
∴EF⊥平面A
1B
1C,
∴∠EDF即为直线ED与平面A
1B
1C所成的角
由条件AB=BC=1,BB
1=2
可知
B1C=,BF=,B1F=,CF=EF==,EC==∴
ED==∴
sin∠EDF==…..(14分)
解法二:如图建立空间直角坐标系.
(1)证明:
A(0,0,0,),A1(0,0,2),E(1,1,)B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0)
∴
=(1,1,-2),=(0,1,),=(1,0,)∵
•=1×0+1×1+(-2)×=0,
•=1×1+1×0+(-2)×=0∴
⊥,⊥,即A1C⊥BE,A1C⊥DE,
∵BE∩DE=E
所以A
1C⊥平面EBD.…(4分)
(2)解:设平面A
1B
1C的一个法向量为m=(x,y,z)
则
,
∴
,
令z=1,得m=(0,2,1),
∵
=(0,0,2),
所以,所求的距离为
d===…(9分)
(3)解:由(2)知,m=(0,2,1),
∵
=(-1,0,-),
∴
设与m所成角为θ,
则
cosθ==-所以直线ED与平面A
1B
1C所成角的正弦值为
….(14分)
点评:本题考查直线与平面垂直的证明、点到平面的距离和直线与平面所成角的正弦值的求法,考查空间思维能力,考查运算求证能力,考查化归转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.