Question

（2008•宣武区一模）如图，已知长方体AC₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F
（1）求证：AC₁⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：法一：（1）连接AC，则AC⊥DB，由AC是A₁C在平面ABCD内的射影，知A₁C⊥BD．因为A₁B₁⊥平面B₁C₁BC，所以A₁C⊥BE．由此能够证明A₁C⊥平面EBD．
（2）由AB平行于平面A₁B₁C，所以点B到平面A₁B₁C的距离等于点A到平面A₁B₁C的距离，由BF⊥平面A₁B₁C，知BF为所求距离，由此能求出结果．
（3）连接DF，A₁D，由EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，知EF⊥平面A₁B₁C，所以∠EDF即为直线ED与平面A₁B₁C所成的角．由条件AB=BC=1，BB₁=2，能求出直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．
法二：（1）分别以AB，AD，AA₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0，)，A1(0，0，2)，E(1，1，

1

2

)，B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），由向量法能证明A₁C⊥平面EBD．
（2）设平面A₁B₁C的一个法向量为m=（x，y，z）则

A1B1 •m=0 B1C •m=0

，所以m=（0，2，1），由此能求出点A到平面A₁B₁C的距离．
（3）由m=（0，2，1），

ED

=(-1，0，-

1

2

)，设

ED

与m所成角为θ，由cosθ=

m• ED

|m|•| ED |

=-

1

5

，能求出直线ED与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

解答： 解法一：
（1）证明：连接AC，则AC⊥DB，
∵AC是A₁C在平面ABCD内的射影，∴A₁C⊥BD
又∵A₁B₁⊥平面B₁C₁BC，
且A₁C在平面B₁C₁BC内的射影B₁C⊥BE
且BD∩BE=B，
∴A₁C⊥BE∴A₁C⊥平面EBD…（4分）
（2）解：∵AB平行于平面A₁B₁C，
所以点B到平面A₁B₁C的距离等于点A到平面A₁B₁C的距离
因为BF⊥平面A₁B₁C
所以BF为所求距离，BF=

2×1

22+12

2 5

5

…（9分）
（3）解：连接DF，A₁D，
∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，
∴EF⊥平面A₁B₁C，
∴∠EDF即为直线ED与平面A₁B₁C所成的角
由条件AB=BC=1，BB₁=2
可知B1C=

5

，BF=

2 5

5

，B1F=

4 5

5

，CF=

5

5

EF=

FC•BF

B1F

=

5

10

，EC=

FC•BB1

B1F

=

1

2

∴ED=

EC2+CD2

=

5

2

∴sin∠EDF=

EF

ED

=

1

5

…..（14分）
解法二：如图建立空间直角坐标系．
（1）证明：A(0，0，0，)，A1(0，0，2)，E(1，1，

1

2

)B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0）
∴

A1C

=(1，1，-2)，

BE

=(0，1，

1

2

)，

DE

=(1，0，

1

2

)
∵

A1C

•

BE

=1×0+1×1+(-2)×

1

2

=0，

A1C

•

DE

=1×1+1×0+(-2)×

1

2

=0
∴

A1C

⊥

BE

，

A1C

⊥

DE

，即A1C⊥BE，A1C⊥DE，
∵BE∩DE=E
所以A₁C⊥平面EBD．…（4分）
（2）解：设平面A₁B₁C的一个法向量为m=（x，y，z）
则

A1B1 •m=0 B1C •m=0

，
∴

x=0 y=2z

，
令z=1，得m=（0，2，1），
∵

AA1

=(0，0，2)，
所以，所求的距离为d=

| AA1 •m|

|m|

=

2

5

=

2

5

5

…（9分）

（3）解：由（2）知，m=（0，2，1），
∵

ED

=(-1，0，-

1

2

)，
∴设

ED

与m所成角为θ，
则cosθ=

m• ED

|m|•| ED |

=-

1

5

所以直线ED与平面A₁B₁C所成角的正弦值为

1

5

…．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明、点到平面的距离和直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间思维能力，考查运算求证能力，考查化归转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．