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(2008•宣武区一模)如图,已知长方体AC1中,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C的垂线交CC1于E,交B1C于F
(1)求证:AC1⊥平面EBD;
(2)求点A到平面A1B1C的距离;
(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.
分析:法一:(1)连接AC,则AC⊥DB,由AC是A1C在平面ABCD内的射影,知A1C⊥BD.因为A1B1⊥平面B1C1BC,所以A1C⊥BE.由此能够证明A1C⊥平面EBD.
(2)由AB平行于平面A1B1C,所以点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离,由BF⊥平面A1B1C,知BF为所求距离,由此能求出结果.
(3)连接DF,A1D,由EF⊥B1C,EF⊥A1C,知EF⊥平面A1B1C,所以∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角.由条件AB=BC=1,BB1=2,能求出直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.
法二:(1)分别以AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0,),A1(0,0,2),E(1,1,
1
2
)
,B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),由向量法能证明A1C⊥平面EBD.
(2)设平面A1B1C的一个法向量为m=(x,y,z)则
A1B1
•m=0
B1C
•m=0
,所以m=(0,2,1),由此能求出点A到平面A1B1C的距离.
(3)由m=(0,2,1),
ED
=(-1,0,-
1
2
)
ED
与m所成角为θ,由cosθ=
m•
ED
|m|•|
ED
|
=-
1
5
,能求出直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值.
解答: 解法一:
(1)证明:连接AC,则AC⊥DB,
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影,∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面B1C1BC,
且A1C在平面B1C1BC内的射影B1C⊥BE
且BD∩BE=B,
∴A1C⊥BE∴A1C⊥平面EBD…(4分)
(2)解:∵AB平行于平面A1B1C,
所以点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离
因为BF⊥平面A1B1C
所以BF为所求距离,BF=
2×1
22+12
2
5
5
…(9分)
(3)解:连接DF,A1D,
∵EF⊥B1C,EF⊥A1C,
∴EF⊥平面A1B1C,
∴∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角
由条件AB=BC=1,BB1=2
可知B1C=
5
,BF=
2
5
5
B1F=
4
5
5
,CF=
5
5
EF=
FC•BF
B1F
=
5
10
,EC=
FC•BB1
B1F
=
1
2

ED=
EC2+CD2
=
5
2

sin∠EDF=
EF
ED
=
1
5
…..(14分)
解法二:如图建立空间直角坐标系.
(1)证明:A(0,0,0,),A1(0,0,2),E(1,1,
1
2
)
B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0)
A1C
=(1,1,-2),
BE
=(0,1,
1
2
),
DE
=(1,0,
1
2
)

A1C
BE
=1×0+1×1+(-2)×
1
2
=0
A1C
DE
=1×1+1×0+(-2)×
1
2
=0

A1C
BE
A1C
DE
,即A1C⊥BE,A1C⊥DE

∵BE∩DE=E
所以A1C⊥平面EBD.…(4分)
(2)解:设平面A1B1C的一个法向量为m=(x,y,z)
A1B1
•m=0
B1C
•m=0

x=0
y=2z

令z=1,得m=(0,2,1),
AA1
=(0,0,2)

所以,所求的距离为d=
|
AA1
•m|
|m|
=
2
5
=
2
5
5
…(9分)

(3)解:由(2)知,m=(0,2,1),
ED
=(-1,0,-
1
2
)

ED
与m所成角为θ,
cosθ=
m•
ED
|m|•|
ED
|
=-
1
5

所以直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为
1
5
….(14分)
点评:本题考查直线与平面垂直的证明、点到平面的距离和直线与平面所成角的正弦值的求法,考查空间思维能力,考查运算求证能力,考查化归转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.
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