Question

如下图，设P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲线y=上的点列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n,…是x轴正半轴上的点列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n,…都是正三角形，设它们的边长为a₁,a₂,…,a_n,…,求证：a₁+a₂+…+a_n=n(n+1).

Answer 1

证明：（1）当n=1时，点P₁是直线y=x与曲线y=的交点，

∴可求出P₁（）.

∴a₁=|OP₁|=.而×1×2=,命题成立.

（2）假设n=k(k∈N^*)时命题成立，即a₁+a₂+…+a_k=k(k+1),则点Q_k的坐标为（k(k+1),0）,

∴直线Q_kP_k+1的方程为y=［x-k(k+1)］.代入y=,解得P_k+1点的坐标为(,(k+1)).

∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=(k+1)·=(k+1).

∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2).

∴当n=k+1时，命题成立.

由（1）、（2）,可知命题对所有正整数都成立.