Question

已知：圆M：x²+y²-2y=0，直线l的倾斜角为120°，与圆M交于P、Q两点，若

OP

•

OQ

=0（O为原点），则l在x轴上的截距为

3

3

．

Answer 1

分析：根据两个向量的数量积为零，可得OP⊥OQ，说明以PQ为直径的圆经过原点．再结合圆M的方程可得原点在圆M上，因此圆M即为以PQ为直径的圆，M为PQ的中点．最后利用直线方程的斜截式，得到直线l的方程，易得它在x轴上的截距了．

解答：解：∵

OP

•

OQ

=0
∴OP⊥OQ，即原点在以PQ为直径的圆上
而根据圆M方程可得，原点还在圆M上，
所以直线l经过点M（0，1），且它的倾斜角为120°
可得直线l的方程为y=-

3

x+1
在直线方程中令y=0，得x=

3

3

即直线在轴上的截距为

3

3

故答案为：

3

3

点评：本题考查了直线方程的斜截式、直线与圆位置关系和向量的数量积等知识点，属于中档题．利用向量垂直时的数量积为零和圆的直径所对的圆周角为直角，是解决本题的关键．