Question

已知数列{log₃（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=4，a₄=82．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）由题log₃（a₁-1）=1，log₃（a₄-1）=4（2分）∴等差数列的公差∴
∴log₃（a_n-1）=1+（n-1）1=n（4分）
∴a_n=3ⁿ+1（5分）
（2）na_n=n3ⁿ+n，∴S_n=（1•3+2•3²+…+n•3ⁿ）+（1+2+…+n）
令T_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ①∴3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹②（7分）
则②-①可得：-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=（9分）

而（11分）
∴（12分）
分析：（1）由已知，求出数列{log₃（a_n-1）}中的第一，四项后，可求出其通项公式，利用指数、对数互化得出数列{a_n}的通项公式 a_n=3ⁿ+1
（2）na_n=n3ⁿ+n，可综合利用分组法、错位相消法求和．
点评：本题考查等差数列通项公式求解，对数、指数的运算，数列分组法、错位相消法求和，考查分析解决问题、计算能力．