Question

.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为a.

（1）求它的外接球的体积；

（2）求它的内切球的表面积.

Answer 1

（1）V_球=R³=a³（2）V_棱锥=S_底h=a²×a=

解析:

（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为△SAC的外心，

即△SAC的外接圆半径就是球的半径.

∵AB=BC=a，∴AC=a.

∵SA=SC=AC=a，∴△SAC为正三角形.

由正弦定理得2R=，

因此，R=a，V_球=R³=a³.

（2）设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E，

作SF⊥BC于F，连接EF，

则有SF=

=.

S_△SBC=BC·SF=a×a=a².

S_棱锥全=4S_△SBC+S_底=（+1）a².

又SE===，

∴V_棱锥=S_底h=a²×a=.

∴r=,

S_球=4r²=a².