Question

7．设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切，
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过对f（x）=alnx-bx²（x＞0）求导，利用函数f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切，通过联立方程组，计算即得结论；
（2）通过（1）可知f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²、f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，通过讨论在[$\frac{1}{e}$，3]上f′（x）的正负可知函数单调性，进而可得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx-bx²（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a-2b=0}\\{f（1）=-b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知，f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，
当$\frac{1}{e}$≤x≤e时，令f′（x）＞0，得$\frac{1}{e}$＜x＜1；
令f′（x）＜0，得1＜x＜e；
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．