Question

（2013•湖南模拟）如图所示，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=

3

2

．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE，
（2）令AC=x，V（x） 表示三棱锥A-CBE的体积，当V（x） 取得最大值时，求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证平面ACD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直，而根据BC⊥平面ADC，DE∥BC，可得DE⊥平面ADC；
（2）先利用等体积法表示出三棱锥A-CBE的体积，利用基本不等式求最值，再建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求得直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

解答：（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC
∵DC∩AC=C，∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC
又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE；
（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE，∴BE⊥平面ABC
∵AB?平面ABC，∴BE⊥AB，
在Rt△ABE中，由tan∠EAB=

BE

AB

=

3

2

，AB=2得BE=

3

在Rt△ABC中，∵BC=

AB2-AC2

=

4-x2

（0＜x＜2）
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

∴V（x）=V_C-ABE=V_E-ABC=

1

3

S_△ABC•BE=

3

6

x

4-x2

=

3

6

x2(4-x2)

（0＜x＜2）
∵0＜x＜2，∴

x2(4-x2)

≤

x2+4-x2

2

=2
∴V（x）≤

3

3

，当且仅当x²=4-x²，即x=

2

时，V（x）取得最大值，AC=

2

这时△ABC为等腰直角三角形
建立如图所示的坐标系，

C（0，0，0），A（

2

，0，0），E（0，

2

，

3

），D（0，0，

3

），

AD

=（-

2

，0，

3

）
设平面AEC的法向量

n

=(x，y，z)，则

CA • n =0 CE • n =0

，∴

2 x=0 2 y+ 3 z=0

，∴可取

n

=（0，-

3

，

2

）
设直线AD与平面ACE所成角为θ，则sinθ=cos＜

AD

，

n

＞=

| AD • n |

| AD || n |

=

6

5 × 5

=

6

5

故直线AD与平面ACE所成角的正弦值为

6

5

点评：本题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及简单组合体体积的计算，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．