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    【题目】如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点且

    （1）求直线与平面所成角的正弦值；

    （2）求锐二面角的大小．

    【答案】（1）；（2）.

    【解析】

    (1) 以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为再求解与平面的法向量,继而求得直线与平面所成角的正弦值即可.

    (2)分别求解平面与平面的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.

    解：在正四棱锥中,底面正方形的对角线交于点

    所以平面取的中点的中点

    所以两两垂直,故以点为坐标原点,

    以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系．

    设底面正方形边长为

    因为

    所以

    所以,

    所以,

    设平面的法向量是,

    因为,,

    所以,,

    取则,

    所以

    所以,

    所以直线与平面所成角的正弦值为．

    设平面的法向量是,

    因为,,

    所以,

    取则

    所以,

    由知平面的法向量是,

    所以

    所以,

    所以锐二面角的大小为．

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    （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

    优秀

    非优秀

    合计

    男生

    40

    女生

    50

    合计

    100

    参考公式及数据：.

    0.05

    0.01

    0.005

    0.001

    3.841

    6.635

    7.879

    10.828

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