Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足，|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的运算性质，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，代入夹角的余弦公式，求出即可；（Ⅱ）根据平面向量的运算性质展开计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，
∴4|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3|$\overrightarrow{b}$|²=61；
又|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，
∴64-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-27=61，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6，
∴cos θ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，
又0≤θ≤π，∴θ=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=16+2（-6）+9=13，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了平面向量的运算性质，理解并牢记公式是解题的关键，本题是一道基础题．