Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴
∴
∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
∴b=
∴a²=4，b²=3
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0
设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁），
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
又直线AE的方程为y-y₂=
令y=0，则x=x₂-===1
∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．
分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为，可得，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可得b=，从而可求椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出直线AE的方程，令y=0，化简即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解