Question

（2012•菏泽一模）已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2）．
（Ⅰ）当t＜1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设f（-2）=m，f（t）=n，求证m＜n；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+（x-2）e^x，判断并证明是否存在区间[a，b]（a＞1）使函数y=g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2），知f′（x）=（2x-3）e^x+e^x（x²-3x+3）=e^xx（x-1）．由此能求出当t＜1时，函数y=f（x）的单调区间．
（Ⅱ）m=f（-2）=13e^-2，n=f（t）=（t²-3t+3）e^t，设h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，故h′（t）（2t-3）e^t+e^t（t²-3t+3）=e^t（t²-3t+3），列表讨论知h（t）的极小值为h（1）=e-

13

e2

=

e3-13

e2

＞0，由此能够证明n＞m．
（Ⅲ）由g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x=（x-1） 2 e^x，知g′（x）=（2x-2）e^x+e^x（x²-2x+1）=e^x（x²-1），设x＞1时，存在[a，b]，使y=g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．由此能够推导出不存在区间[a，b]满足题意．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2），
∴f′（x）=（2x-3）e^x+e^x（x²-3x+3）=x（x-1）e^x．
①当-2＜t≤0时，x∈（-2，t），f′（x）＞0，f（x）单调递增．
②当0＜t＜1时，x∈（-2，0），f′（x）＞0，f（x）单调递增．
x∈（0，t），f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上所述，当-2＜t≤0时，y=f（x）单调递增区间为（-2，t）；
当0＜t＜1时，y=f（x）单调递增区间为（-2，0），减区间为（0，t）．
（Ⅱ）m=f（-2）=13e^-2，n=f（t）=（t²-3t+3）e^t，
设h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，
∴h′（t）（2t-3）e^t+e^t（t²-3t+3）=e^t（t²-3t+3）
=e^tt（t-1），（t＞-2）．
h（t），h′（t）随t变化如下表：

t	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（t）	+	0	-	0	+
h（t）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由上表知h（t）的极小值为h（1）=e-

13

e2

=

e3-13

e2

＞0，
又h（-2）=0，
∴当t＞-2时，h（t）＞h（-2）＞0，即h（t）＞0．
因此，n-m＞0，即n＞m．
（Ⅲ）g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x=（x-1） 2 e^x，
g′（x）=（2x-2）e^x+e^x（x²-2x+1）=e^x（x²-1），
设x＞1时，存在[a，b]，使y=g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．
因为x＞1时，g′（x）＞0，所以y=g（x）单调递增．
故应有

g(a)=(a-1)2ea=a g(b)=(b-1)2eb=b

，
即方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的不等根，
设∅（x）=（x-1）²e^x-x，（x＞1），
∅′（x）=e^x（x²-1）-1，
设k（x）=e^x（x²-1）-1，（x＞1），k′（x）=e^x（x²+2x-1），
当x＞1时，k′（x）＞0，即k（x）在（1，+∞）递增，
又k（1）=-1＜0，k（2）=3e²-1＞0．
∴x∈（1，2）存在唯一的x₀，使k（x₀）=0．
即存在唯一的x₀，使∅  ‘（x₀）=0．
∅（x），∅′（x）随x的变化如下表：

x	（1，x0）	x0	（x0，+∞）
∅（x）	-	0	+
∅′（x）	↓	极小值	↑

由上表知，∅（x₀）＜∅（1）=-1＜0，
∅（2）=e²-2＞0，
故y=∅（x）的大致图象如图，
因此∅（x）在（1，+∞）只能有一个零点，
这与∅（x）=0有两个大于1的不等根矛盾，
故不存在区间[a，b]满足题意．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，探索满足条件的区间是否存在．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．