Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，AC∩BD=O，侧棱AA₁与底面ABCD所成的角为60°，A₁O⊥平面ABCD，F为DC₁的中点，
(1)证明：BD⊥AA₁；
(2)证明：OF∥平面BCC₁B₁；
(3)求二面角D-AA₁-C的余弦值．

Answer 1

解：(1)∵棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2， ∴四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC， 又A1O⊥平面ABCD，BD平面ABCD， ∴A1O⊥BD， 又∵AC∩A1O=O，AC、A1O平面A1ACC1， ∴BD⊥平面A1ACC1， ∵AA1平面A1ACC1， ∴BD⊥AA1．
(2)连接BC1，如图所示， ∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O， ∴O是BD的中点， 又∵点F为DC1的中点， ∴在△DBC1中，OF∥BC1， ∵OF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1， ∴OF∥平面BCC1B1。 (3)以O为坐标系的原点，分别以OA，OB，OA1所在直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， ∵侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，A1O⊥平面ABCD， ∴∠A1AO=60°，在Rt△A1AO中，可得AO=1，， 在Rt△AOB中，， ∴A(1，0，0)，， 设平面AA1D的一个法向量为n1=（x1，y1，z1）， ∴， ∵， ∴，令z1=1，则， 又∵BD⊥平面A1ACC1， 所以，平面A1ACC1的一个法向量为， ∴， ∵二面角D-AA1-C的平面角为锐角， 故二面角D-AA1-C的余弦值是。