Question

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，

∠BAC=90°,A₁A⊥平面ABC,A₁A=,AB=,AC=2,A₁C₁=1,=.

(1)证明:平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；

(2)求二面角A—CC₁—B的余弦值.

Answer 1

(1) 证明略(2) 二面角A—CC₁—B余弦值为.

解析:

方法一  (1)  ∵A₁A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A₁A⊥BC.

在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.

∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,

∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,

即AD⊥BC.

又A₁A∩AD=A,∴BC⊥平面A₁AD.

∵BC平面BCC₁B₁,∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.

(2) 如图①,作AE⊥C₁C交C₁C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC₁A₁,

∴AE是BE在平面ACC₁A₁内的射影.

由三垂线定理知BE⊥CC₁,

∴∠AEB为二面角A—CC₁—B的平面角.                                                  图①

过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点,

则CF=AC-AF=1,

C₁F=A₁A=,∴∠C₁CF=60°.

在Rt△AEC中,

AE=ACsin60°=2×=,

在Rt△BAE中,tan∠AEB===,

∴cos∠AEB=,

即二面角A—CC₁—B余弦值为.

方法二  (1)  如图②,建立空间直角坐标系,

图②

则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),

A₁(0,0,),C₁(0,1, ).

∵BD∶DC=1∶2,∴=,

∴D点坐标为,

∴=, =(-,2,0),=(0,0,).

∵·=0，·=0，

∴BC⊥AA₁，BC⊥AD.又A₁A∩AD=A，

∴BC⊥平面A₁AD.又BC平面BCC₁B₁，

∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.

（2）  ∵BA⊥平面ACC₁A₁，取m==(,0,0)为平面ACC₁A₁的法向量.

设平面BCC₁B₁的法向量为n=(x,y,z),

则·n=0，·n=0，

∴

∴x=y，z=，可取y=1，则n=，

cos〈m,n〉=

=,

即二面角A—CC₁—B的余弦值为.