Question

如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．

（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）AB∥平面DEF，理由如下如图：
在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF．
∴AB∥平面DEF．
（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M，
这时EM∥AD
∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE=，，
∴cos∠MNE=．
二面角E﹣DF﹣C的余弦值：．
（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE
证明如下：在线段BC上取点P．使BP= BC，过P作PQ⊥CD于Q，
∵AD⊥平面BCD
∴PQ⊥平面ACD
 ∴DQ=DC=，
∴tan∠DAQ=
∴=，
∴∠DAQ=30°
在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE ∵PQ⊥平面ACD ∴AP⊥DE．
AQ∩AP=A ∴DE⊥平面APQ， ∴AP⊥DE．
此时BP=BC，
∴=．