Question

12．设f（1nx）=$\frac{1n（1+x）}{x}$，计算∫f（x）dx．

Answer 1

分析 先求出f（x）的解析式，然后求积分即可

解答 解：令lnx=t，则x=e^t，
∴f（t）=$\frac{ln（{e}^{t}+1）}{{e}^{t}}$，
即f（x）=$\frac{ln（{e}^{x}+1）}{{e}^{x}}$．
∴f′（x）=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$-$\frac{ln（{e}^{x}+1）}{{e}^{x}}$=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$-f（x）
∴f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$-f′（x）．
∴${∫}_{\;}^{\;}$f（x）dx=x-ln（e^x+1）-f（x）+C=x-ln（e^x+1）-$\frac{ln（{e}^{x}+1）}{{e}^{x}}$+C．

点评 本题考查了不定积分的计算，找出f（x）与f′（x）的关系是关键．