Question

设函数y＝f(x)的定义域为R，且对于任意x₁，x₂∈R，都有f(x₁＋x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，又当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－．求函数y＝f(x)在区间[－4，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：由题意知，对于任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)　① 　　在①中，令x1＝x2＝0，可得f(0)＝0． 　　在①中，令x1＝x，x2＝－x，可得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)． 　　设x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． 　　因为x2－x1＞0，由题设知f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以函数y＝f(x)在R上是减函数，因此在区间[－4，4]上，有f(4)≤f(x)≤f(－4)． 　　又因为f(1)＝－，所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝－1，f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)＝－2，则f(－4)＝－f(4)＝2． 　　故在区间[－4，4]上函数y＝f(x)的最大值为2，最小值为－2． 　　点评：(1)求解有关抽象函数的问题时，赋值法是常用的方法，给自变量x赋以一些特殊的数值，构造出含有某个函数值的方程，通过解方程使问题获解； 　　(2)根据函数的单调性求函数的最值是常用方法之一，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(或减)函数，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值为f(b)〔或f(a)〕，最小值为f(a)[或f(b)]．

提示：

问题中的函数解析式没有给出，求最值应从哪里入手呢？只要知道了函数的单调性，问题也就迎刃而解了．