Question

（2012•芜湖二模）给出以下五个命题：
①命题“?x∈R，x²+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x²+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（

π

3

，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-

3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数f(x)=(

1

2

)x-x

1

3

在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量

a

=(1，-2)与向量

b

=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，

1

2

）
其中正确命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：根据全称、特称命题的否定方法，可判断①的真假；
根据已知求出k值，进而求出导数解析式，代入点的横坐标，可判断②的真假；
根据直线垂直的充要条件，可斜率积为-1，可判断③的真假；
根据零点存在定理可得④的真假
根据m=-2时两向量同向，夹角为0，可判断⑤的真假

解答：解：①错，命题“?x∈R，x²+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x²+x+1≤0”．
②中k•cos

π

3

=1，∴k=2，∴f（x）=2cosx，∴f'（x）=-2sinx斜率f′(

π

3

)=-2sin

π

3

=-

3

正确
③正确，a=1时，直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直成立，直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直时，斜率积为-1，则
a=1④中f（0）=1＞0，f(1)=

1

2

-1＜0∴有零点，正确
⑤错，m≠-2，当m=-2时两向量同向
故答案为：②③④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，熟练掌握相关的基本概念是关键．