Question

如图所示，多面体EF-ABCD中，ABCD是梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CB=AE=a，∠ACB=。
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM；
（3）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值。

Answer 1

（1）证明：（1）平面ACEF∩ABCD=AC，，从而BC⊥AC，
又因为面ABCD，平面ACEF⊥平面ABCD，
所以BC⊥平面ACFE。
（2）解：连接BD，记AC∩BD=O，
在梯形ABCD中，因为AD=DC=CB=a，AB∥CD，
所以，
，，从而。
又因为，CB=a，所以，
连接FO，由AM∥平面BDF，得AM∥FO，
因为ACFE是矩形，所以。
（3）解：以C为原点，CA、CB、CF分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C-xyz，

设平面DEF的一个法向量为，
则有，即，解得；
同理可得平面BEF的一个法向量为，
观察知二面角B-EF-D的平面角为锐角，所以其余弦值为。