Question

一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯．每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作．如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内．
（1）恰有一套设备能正常工作的概率；
（2）能进行通讯的概率．

Answer 1

解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，
“第二套通讯设备能正常工作”为事件B．
由题意知P（A）=p³，P（B）=p³，
P（）=1-p³，P（）=1-p³．
（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P（A•+•B）=P（A•）+P（•B）
=p³（1-p³）+（1-p³）p³=2p³-2p⁶．
（2）两套设备都不能正常工作的概率为
P（•）=P（）•P（）=（1-p³）²．
至少有一套设备能正常工作的概率，
即能进行通讯的概率为1-P（•）=1-P（）•P（）=1-（1-p³）²=2p³-p⁶．
分析：（1）恰有一套设备能正常工作包含第一套通讯设备能正常工作且第二套通讯设备不能正常工作；第二套通讯设备能正常工作且第一套通讯设备不能正常工作，这两种情况是互斥的．
（2）能进行通讯的对立事件是两套设备都不能工作，写出两套设备都不能工作的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．
点评：题目的第二问也可以这样解：两套设备都能正常工作的概率为P（A•B）=P（A）•P（B）=p⁶．至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P（A•+•B）+P（A•B）=2p³-2p⁶+p⁶=2p³-p⁶．