Question

已知向量．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值．

Answer 1

解：（1）依题意得，f（x）=-1
=sin2x+cos2x+1-1
=2sin（2x+），
∴函数f（x）的最小正周期T==π，
由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：，
kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，可得y=2sin（x+），把所得到的y=2sin（x+）的图象再向左平移单位，
即得g（x）=2sin[（x+）+]=2sin（x+）；又0≤x≤，
∴≤x+≤，
∴g（x）_min=2sin=．
分析：（1）利用向量的坐标运算可求得f（x）=-1=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）利用三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得y=g（x）的表达式，从而可求得在区间上的最小值．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的性质，是三角中的综合题，属于中档题．