Question

在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足．
（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程．
（2）过点Q（一2，0）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点（-

4

17

，0），且以言

a

=(0，1)为方向向量的直线上一动点，满足

ON

=

OA

+

OB

（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线Z的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y）是所求曲线上的任意一点，然后设出P，P'坐标代入方程，化简即可求出轨迹C的方程．
（2）设出直线l的方程，以及与椭圆的交点坐标，将直线方程代入已知C的方程，联立并化简，根据根的判别式计算

解答：解：（1）设M（x，y）是所求曲线上的任意一点，
P（x₁，y₁）是方程x²+y²=4的圆上的任意一点，则p'（0，y₁）．
则有：

x= x1 2 y= y1+y1 2

，即

x1=2x y1=y

，代入x²+y²=4得，
轨迹C的方程为x2+

y2

4

=1
（2）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点．
所以设直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，N点所
在直线方程为x+

4

17

=0．
由

x2+ y2 4 =1 y=k(x+2)

得（4+k²）x²+4k²x+4k²-4=0．
由△=16k⁴-4（4+k²）（4k²-4）≥0，∴k2≤

4

3

．
即-

2 3

3

≤k≤

2 3

3

.x1+x2=

-4k2

4+k2

，x1x2=

4(k2-1)

4+k2

.
∵

ON

=

OA

+

OB

，即

AN

=

OB

，
∴四边形OANB为平行四边形
假设存在矩形OANB，则

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
即（k²+1）x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²=0，
于是有

16k2-4

4+k2

=0得k=±

1

2

设N（x₀，y₀），由

ON

=

OA

+

OB

得x0=x1+x2=-

4k2

4+k2

=-

4

17

，
即点N在直线x=-

4

17

上．∴存在直线l使四边形OANB为矩形，
直线l的方程为y=±

1

2

(x+2)．

点评：本题考查圆锥曲线的综合运用以及轨迹方程的应用，通过对圆锥曲线知识的综合运用，考查学生的能力，属于中档题．